PROGRAMMA DI ANALISI MATEMATICA II

A.A. 1996/97 - PROF. R. INFANTINO

COMPLEMENTI SULL'INTEGRAZIONE DELLE FUNZIONI DI UNA VARIABILE

Integrazione definita per parti. Integrazione definita per sostituzione. Integrali impropri. Criteri di esistenza degli integrali impropri.

INTEGRAZIONE INDEFINITA

Integrale indefinito. Il problema dell'integrazione elementare indefinita. Integrali indefiniti immediati. Alcuni integrali indefiniti notevoli. Integrazione indefinita delle funzioni razionali. Integrazione indefinita per razionalizzazione.

FUNZIONI DI PIU' VARIABILI

Sottoinsiemi di R n e loro proprietà. Funzioni di più variabili e loro grafici. Limiti e continuità per funzioni di più variabili. Funzioni continue su insiemi compatti. Le funzioni continue in un insieme connesso.

CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIU' VARIABILI

Derivate parziali e direzionali. Derivate parziali sulla frontiera. Differenziale di una funzione di n variabili. Funzioni differenziabili. Derivate e differenziali delle funzioni composte. Derivate parziali di ordine superiore. Matrici jacobiane. La formula di Taylor per le funzioni di più variabili. Funzioni con derivate nulle. Massimi e minimi relativi delle funzioni di più variabili. Estremi assoluti. Le funzioni omogenee. Funzioni definite mediante integrali. Derivazione sotto il segno di integrale. Inversione dell'ordine delle integrazioni.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI

Equazioni lineari omogenee. L'equazione lineare completa. Integrazione delle equazioni differenziali lineari: l'equazione lineare del primo ordine. Equazioni lineari omogenee a coefficienti costanti. L'equazione di Eulero.

GEOMETRIA DIFFERENZIALE DELLE CURVE

Curve regolari. Rettificazione delle curve regolari. Ascissa curvilinea. Curve generalmente regolari. Domini piani regolari e orientamento della loro frontiera.

FUNZIONI IMPLICITE

Generalità. Teorema del Dini. Sistemi di funzioni implicite. Invertibilità di una applicazione di R n in R n . Cenni sulla dipendenza funzionale.

INTEGRALI SU CURVE

Integrali curvilinei. Integrali di linea. Integrali curvilinei di una forma differenziale lineare. Forme differenziali esatte. Campi conservativi. Caso dei coefficienti continui e dei coefficienti derivabili. Come si stabilisce se un campo conservativo. Come si calcola il potenziale di un campo conservativo.

INTEGRALI MULTIPLI

Misura degli insiemi di R n . Misura del cilindroide di R n+1 . Integrale di una funzione continua in un insieme compatto e misurabile di R n . Proprietà degli integrali. Il teorema dei punti sparsi. Funzioni sommabili. Proprietà dell'integrale delle funzioni sommabili. Formule di riduzione per gli integrali doppi. Formule di Gauss e teorema della divergenza. Calcolo di un integrale doppio mediante un integrale curvilineo. Calcolo dell'area di un dominio regolare. Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Passaggio a coordinate polari. Area di un settore polare. Area di un dominio polarmente normale. Criteri di sommabilità. Formule di riduzione per gli integrali tripli. Cambiamento di variabili negli integrali tripli. Calcolo degli integrali tripli in coordinate cilindriche. Volume di un solido di rotazione. Calcolo degli integrali tripli in coordinate polari. Calcolo delle coordinate del baricentro di un dominio, di una curva o di una superficie.

SUPERFICI E INTEGRALI SU DI ESSE

Superfici regolari. Piano tangente. Coordinate curvilinee su di una superficie. Superfici cilindriche e superfici di rotazione. Area di una superficie regolare. Superfici generalmente regolari. Area di una superficie cilindrica. Area di una superficie di rotazione e il teorema di Guldino. Integrali superficiali delle funzioni. Integrazione di campi vettoriali. Forme differenziabili bilineari e loro integrali. Il teorema di Stokes. Il teorema della divergenza nello spazio. Le formule di Gauss-Green nello spazio.

LE SERIE NUMERICHE

La serie geometrica. Serie resto e resti parziali. Il criterio di Cauchy per le serie. Proprietà delle serie. Serie a termini di segno costante. La serie armonica e la serie armonica generalizzata. Le serie alternanti. Convergenza assoluta e convergenza incondizionata. Criteri di convergenza assoluta. Il criterio dell'integrale. Il criterio di Raabe. Operazioni sulle serie.

SERIE DI FUNZIONI

Convergenza puntuale e convergenza uniforme. Teoremi del limite e della continuità per le serie di funzioni. Teoremi di derivazione e integrazione per serie. Successioni di funzioni. Serie di potenze. Serie di Taylor. Sviluppo in serie di Mac-Laurin di e x , sen x, cos x, (1+x) , log(1+x), arcsen x, arctg x. Serie di Fourier. Criteri di convergenza puntuale e uniforme per le serie di Fourier di una funzione.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Generalità. Teoremi di esistenza e unicità. Teoremi per l'equazione del primo ordine. Teoremi per i sistemi di n equazioni del primo ordine. Teorema per l'equazione di ordine n. Integrale generale e integrali particolari. Integrale generale per l'equazione y'=f(x, y) in uno strato e in un aperto. Integrali singolari dell'equazione del primo ordine di forma non normale. L'equazione di Clairaut. Metodi di risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali.

ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA' E STATISTICA

Spazi di probabilità. Probabilità condizionata. Teoremi sulla probabilità condizionata. La regola di Bayes. Variabili aleatorie. Funzioni di variabili aleatorie. Media e varianza. Alcune variabili aleatorie importanti (binomiali, normali, esponenziali, uniformi). Diseguaglianza di Chebyshev. Legge dei grandi numeri. Teorema limite centrale. Popolazione e campioni. Alcune importanti statistiche e loro proprietà (media, varianza, minimo, massimo, range del campione). Stimatori e stime. Stime puntuali e per intervallo. Stime dell'intervallo fiduciario dei parametri di una popolazione. Intervalli fiduciari per medie.

ELEMENTI DI CALCOLO NUMERICO

Integrazione numerica (formula del rettangolo, formula dei trapezi, formula di Cavalieri-Simpson).

TESTI CONSIGLIATI:

- D. GRECO, R. FIORENZA, Lezioni di Analisi Matematica, vol. II, Ed. Liguori, Napoli.

- R. INFANTINO, Elementi di Calcolo delle Probabilit e Statistica inferenziale. Appunti.

- C. MIRANDA, Lezioni di Analisi Matematica, parte seconda, Ed. Liguori, Napoli.

- P. MARCELLINI-C. SBORDONE, Esercitazioni di Matematica, 2x volume, parte I e II, Ed. Liguori, Napoli.