PROGRAMMA DI ANALISI MATEMATICA I

A.A. 1996/97 - PROFF. M. CAMPITI - S. CINGOLANI

TEORIA DEGLI INSIEMI
Introduzione alla logica delle proposizioni: enunciati e connettivi logici. Cenni della teoria degli insiemi; sottoinsiemi, intersezione, unione, complementare e differenza. Coppie ordinate ed insieme prodotto. Relazioni e proprietà fondamentali. Relazioni riflessive, simmetriche, antisimmetriche e transitive. Relazioni di equivalenza e relazioni d'ordine. Relazioni funzionali. Funzioni. Insieme di definizione e di arrivo. Valore di una funzione in un punto. Immagini dirette e reciproche e relative proprietà. Funzioni ingettive, surgettive e bigettive. Caratterizzazione del grafico di una funzione ingettiva, surgettiva e bigettiva. Funzioni composte e relative proprietà. Funzione identica. Funzioni invertibili e funzione inversa. Equivalenza tra funzioni bigettive e funzioni invertibili. Restrizioni e ridotte di una funzione. Cenni sulle famiglie di elementi di un insieme. Successioni.

INSIEMI NUMERICI FONDAMENTALI

L'insieme dei numeri naturali. Proprietà dell'addizione e della moltiplicazione. Relazione d'ordine in N e relative proprietà. Principio di induzione completa in N. Formulazioni equivalenti. Relazione di equivalenza di equipotenza di insiemi. Insiemi numerabili. Proprietà algebriche e d'ordine di Z e Q. Proprietà algebriche di R. Relazioni d'ordine di R. Insiemi separati. Insiemi contigui. Elementi separatori. Incompletezza di Q. Proprietà della relazione d'ordine di R. Assioma di completezza di R. Intervalli limitati ed illimitati di R. Sottoinsiemi di R limitati superiormente ed inferiormente. Sottoinsiemi limitati. Maggioranti e minoranti di un sottoinsieme di R. Massimo e minimo di un sottoinsieme di R. Estremo superiore ed inferiore di un sottoinsieme di R. Proprietà caratteristiche. Seconda forma dell'assioma di completezza. Densità di Q e di R/Q in R. Valore assoluto in R. Rappresentazione geometrica dei numeri reali. Intorni di un punto. Intorni destri e sinistri. Punti di accumulazione. Punti di accumulazione a destra e a sinistra. La retta ampliata dei numeri reali. Estensione delle operazioni di somma, prodotto e della relazione d'ordine. Intorni dei punti all'infinito. I punti all'infinito come punti di accumulazione di un insieme. Fattoriali, coefficienti binomiali. Formula del binomio di Newton.

FUNZIONI REALI

Operazioni con le funzioni reali: somma, prodotto, reciproca e quoziente. Funzioni crescenti, decrescenti, strettamente crescenti e strettamente decrescenti. Relazioni con l'ingettività. Crescenza e decrescenza in un punto. Confronto con la crescenza globale. Funzioni reali limitate inferiormente, superiormente e limitate. Estremo superiore ed inferiore di una funzione. Punti di massimo e minimo di una funzione. Massimi e minimi relativi. Funzioni pari, dispari e periodiche.

FUNZIONI ELEMENTARI

Funzione potenza ad esponente intero positivo. Funzioni radice. Funzioni potenza ad esponente intero negativo. Definizione di potenza ad esponente reale di un numero strettamente positivo. Funzioni potenza ad esponente razionale e reale. Funzione esponenziale. Funzione logaritmo e proprietà generali dei logaritmi. Richiami di trigonometria. Formule di addizione, moltiplicazione e prostaferesi. Archi noti. Funzioni seno e coseno. Funzioni tangente e cotangente. Interpretazione geometrica. Proprietà e grafici. Funzioni inverse delle funzioni trigonometriche. Proprietà e grafici.

NUMERI COMPLESSI

Parte reale, parte immaginaria, modulo e coniugato di un numero complesso. Operazioni in forma algebrica. Reciproco di un numero complesso. Numeri complessi in forma geometrica e loro rappresentazione nel piano complesso. Operazioni in forma geometrica e loro rappresentazione. Coordinate polari. Rappresentazione di un numero complesso in forma trigonometrica. Operazioni in forma trigonometrica: prodotto, reciproco, quoziente, potenza e radici n-sime. Casi particolari delle radici quadrate, terze e quarte di numeri reali positivi e negativi.

POLINOMI ED EQUAZIONI ALGEBRICHE

Polinomi in campo complesso. Principio di identità. Divisione di polinomi. Zeri di un polinomio. Zeri di un polinomio di grado 2. Divisione di due polinomi. Quoziente e resto. Divisibilità di due polinomi e caratterizzazione degli zeri. Decomposizione di un polinomio, molteplicità degli zeri e regola di Ruffini. Teorema fondamentale dell'algebra e conseguenze per i polinomi di grado n. Formula di decomposizione di un polinomio a coefficienti reali. Polinomi coniugati e polinomi a coefficienti reali.

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI ALGEBRICHE E TRASCENDENTI

Equazioni e disequazioni polinomiali e razionali. Sistemi di equazioni e disequazioni. Equazioni e disequazioni irrazionali. Equazioni e disequazioni con valore assoluto.. Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche. Equazioni e disequazioni con funzioni trigonometriche e trigonometriche inverse. Applicazioni alla determinazione dell'insieme di definizione di una funzione.

LIMITI

Definizione generale di limite. Limite in un punto reale e all'infinito. Limiti infiniti. Teorema di unicità del limite. Limiti da destra e da sinistra. Caratterizzazione del limite mediante il limite destro e sinistro. Carattere locale del limite. Limitatezza locale delle funzioni dotate di limite. Teorema della permanenza del segno. Monotonia del limite. Teoremi di confronto per i limiti. Operazioni con i limiti: Limite della somma di due funzioni, del prodotto e della funzione reciproca. Limite del quoziente di due funzioni. Limiti delle funzioni composte. Limite delle funzioni monotone in punti di accumulazione reali ed infiniti. Conseguenze nel caso di punti di accumulazione a sinistra e a destra e nel caso di punti in cui la funzione definita; caratterizzazione dell'esistenza del limite. Limiti delle funzioni elementari. Limiti delle funzioni razionali. Limiti notevoli. Infinitesimi ed infiniti: definizione di ordine maggiore, uguale, minore. Infinitesimi ed infiniti equivalenti. Infinitesimi ed infiniti campione. Ordine di un infinitesimo e di un infinito. Infinitesimi ed infiniti di ordine arbitrariamente grande o arbitrariamente piccolo. Infinitesimi ed infiniti notevoli. Ordine della somma, prodotto, reciproca e composta di infinitesimi ed infiniti. Teorema di sostituzione.

SUCCESSIONI E LIMITI DI SUCCESSIONI

Successioni limitate inferiormente e superiormente; massimo e minimo di una successione; estremo superiore ed inferiore di una successione. Successioni crescenti e decrescenti. Il numero di Nepero. Successioni regolari, convergenti e divergenti positivamente e negativamente. Limitatezza di una successione convergente. Limitatezza inferiore (superiore) delle successioni divergenti positivamente (negativamente). Regolarità delle successioni monotone e convergenza delle successioni monotone e limitate. Caratterizzazione dell'esistenza del limite mediante successioni ed applicazioni al calcolo dei limiti. Successioni delle medie aritmetiche e geometriche. Teoremi di Cesaro. Successioni estratte. Comportamento delle successioni estratte di una successione regolare. Massimo e minimo limite di una successione. Proprietà caratteristiche del massimo e del minimo limite. Caratterizzazione del limite mediante limite massimo e minimo. Esistenza di una estratta regolare da ogni successione. Criterio di convergenza di Cauchy. Teorema di Bolzano. Massimo e minimo limite di una funzione.

SERIE NUMERICHE

Definizione di serie convergente, divergente e indeterminata. Condizione necessaria per la convergenza. Serie geometrica. Serie resto di ordine n. Criterio di convergenza di Cauchy per le serie numeriche. Serie armonica. Operazioni algebriche sulle serie. Serie a termini positivi. Primo teorema di confronto per le serie a termini positivi. Secondo teorema di confronto per le serie a termini positivi. Criterio del rapporto. Criterio della radice. Serie assolutamente convergenti e criteri di assoluta convergenza. Criterio dell'ordine di infinitesimo. Serie armonica generalizzata. Serie a segni alterni. Criterio di Leibnitz. Serie armonica a segni alterni. Prodotto secondo Cauchy e condizioni per la convergenza del prodotto.

FUNZIONI CONTINUE

Definizione di continuità in un punto, in un insieme e globale, continuità da destra e da sinistra. Punti di discontinuità e relativa classificazione: eliminabili, di prima e seconda specie. Permanenza del segno per le funzioni continue. Operazioni sulle funzioni continue. Continuità delle funzioni composte. Continuità delle funzioni elementari. Teorema di Weierstrass. Teorema degli zeri. Teoremi di Bolzano. Conseguenze del teorema di Weierstrass e di Bolzano. Applicazioni del teorema degli zeri alla risoluzione di equazioni. Caratterizzazione dei punti di discontinuità di una funzione monotona e loro numerabilità. Funzioni uniformemente continue e confronto con la continuità. Teorema di Cantor. Funzioni lipschitziane. Confronto con le funzioni uniformemente continue.

FUNZIONI DERIVABILI

Definizione di funzione dotata di derivata e derivabile in un punto, in un insieme e globalmente. Rapporto incrementale. Incrementi di una funzione. Derivate destre e sinistre e relazioni con la derivata. Interpretazione geometrica. Rette tangenti al grafico di una funzione. Rette tangenti a sinistra e a destra. Punti angolosi e punti cuspidali. Derivate di ordine superiore. Regole di derivazione: somma, prodotto, reciproca, quoziente. Derivate delle funzioni elementari. Derivabilità delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Calcolo delle derivate. Teorema di Rolle. Teorema di Cauchy. Teorema di Lagrange. Significato geometrico dei teoremi di Rolle e Lagrange. Funzioni con derivata nulla in un intervallo. Teoremi di L'Hopital ed applicazioni al calcolo dei limiti. Risoluzione delle forme indeterminate. Polinomio di Taylor e proprietà delle sue derivate. Formula di Taylor con il resto di Peano e di Lagrange. Studio della crescenza e della decrescenza di una funzione in un punto e conseguenze necessarie per massimi e minimi relativi. Caratterizzazione della crescenza (decrescenza) e della stretta crescenza (decrescenza) di una funzione in un intervallo. Condizioni necessarie e sufficienti per massimi e minimi relativi: primo criterio, secondo criterio e criterio dedotto dalla formula di Taylor. Convessità e concavità in un punto. Punti di flesso. Studio della convessità e concavità in un punto mediante la derivata seconda. Condizioni necessarie e condizioni necessarie e sufficienti per i punti di flesso: primo criterio, secondo criterio e criterio dedotto dalla formula di Taylor. Asintoti verticali, orizzontali ed obliqui. Criterio di esistenza per gli asintoti obliqui. Studio del grafico di una funzione reale.

INTEGRAZIONE

Suddivisioni di un intervallo reale; ampiezza di una suddivisione. Esistenza di suddivisioni di ampiezza arbitraria. Suddivisioni più fini e meno fini. Esistenza di suddivisioni più fini di due suddivisioni arbitrarie. Somme superiori ed inferiori e proprietà. Integrale inferiore e superiore. Definizione di integrabilità secondo Riemann. Criterio di integrabilità mediante suddivisioni. Integrabilità delle funzioni monotone e delle funzioni continue. Significato geometrico dell'integrale definito di funzioni positive come area del trapezoide relativo ad una funzione positiva. Proprietà delle funzioni integrabili: linearità, monotonia (conseguenze riguardanti l'integrale del valore assoluto), proprietà di decomposizione in intervalli. Proprietà delle funzioni continue: teorema della media integrale. Integrale definito di funzioni continue in intervalli e relative proprietà. Primitive di una funzione. Proprietà delle primitive. Integrale indefinito di una funzione. Proprietà degli integrali indefiniti. Primitiva fondamentale di una funzione continua. Teorema fondamentale del calcolo integrale e sue applicazioni al calcolo degli integrali definiti. Integrali elementari. Regole di integrazione per sostituzione e per parti. Applicazioni.

INTEGRALI IMPROPRI

Integrali impropri di funzioni non limitate su un intervallo chiuso e limitato; assoluta integrabilità, criterio di confronto, integrali impropri campione, criterio dell'ordine di infinito. Integrali impropri su intervalli non limitati; assoluta integrabilità, criterio di confronto, integrali impropri campione, criterio dell'ordine di infinitesimo.

N.B.: le parti in corsivo includono le dimostrazioni

TESTI CONSIGLIATI:

- M. CAMPITI, Analisi Matematica I, Lezioni ed esercizi, Liguori Editore, Napoli, 1995.

N.B. L'esame di Analisi Matematica consiste nello svolgimento di una prova scritta e di una orale. Esoneri: le prove di esonero sono valide in tutti gli appelli dell'anno accademico; nel caso in cui l'esonero richieda un recupero di alcune parti del programma, tale recupero deve essere effettuato durante la prova orale e può riguardare sia la parte teorica che applicativa (esercizi) della parte da recuperare. Nel caso in cui il recupero sia ritenuto insufficiente oppure la prova orale non venga superata, l'esonero viene comunque ritenuto valido per gli appelli successivi. Prova scritta: consiste nello svolgimento preliminare di quesiti di carattere teorico e di diversi esercizi sulle varie parti del programma (in generale disequazioni o determinazione dell'insieme di definizione di una funzione, numeri complessi, limiti, successioni o serie numeriche, studio di funzioni e integrali eventualmente impropri). La prova scritta viene superata se risulta soddisfacente sia lo svolgimento degli esercizi che della parte teorica e in tal caso viene valutata per due appelli consecutivi; la non consegna della prova scritta (ritiro) equivale a non presentarsi all'esame. Le prove scritte relative a due appelli precedenti vengono sempre annullate anche se con esito positivo. Prova orale: consiste in generale in una discussione sulla parte teorica del programma ed eventualmente sulla prova scritta.