PROGRAMMA DI GEOMETRIA
A.A. 1996/97 - PROF.SSA L. RELLA
ALGEBRA LINEARE
INSIEMI E STRUTTURE
Insiemi e operazioni tra insiemi. Applicazioni. Prodotto di applicazioni. relazione di equivalenza in un insieme. Insieme quoziente. Strutture algebriche: gruppi e campi, alcune loro proprietà e applicazioni.
MATRICI E DETERMINANTI
Generalità sulle matrici. Operazioni tra matrici. matrici estratte. Determinante di una matrice quadrata. Rango e caratteristica di una matrice. Inversa di una matrice quadrata non singolare. Matrici notevoli.
SISTEMI LINEARI
Condizioni di compatibilità (teorema di Rouchè-Capelli e corollari). Sistemi equivalenti. Sistemi omogenei. Metodo di eliminazione di Gauss. Metodo di calcolo della inversa di una matrice quadrata. Sottospazi e sottovarietà di Rn.
SPAZI VETTORIALI
Struttura di spazio vettoriale. Sottospazi vettoriali. Dipendenza e indipendenza lineare dei vettori. Basi e dimensione di uno spazio vettoriale. Rango di un sistema di vettori. Lo spazio vettoriale dei segmenti orientati applicati in un punto. Nozione di vettore ordinario e relativo spazio vettoriale. Applicazioni lineari e matrici associate. Autovalori e autovettori di un endomorfismo. Diagonalizzazione di una matrice quadrata e criteri di diagonalizzazione. Forme bilineari e matrici associate. Forme quadratiche. Forme bilineari e forme quadratiche reali. Riduzione a forma canonica di una forma quadratica reale. Spazi vettoriali euclidei. Basi ortonormali e procedimento di ortonormalizzazione. Diagonalizzazione di matrici simmetriche reali. Orientamento degli spazi vettoriali reali. Metodo di Jacobi per matrici simmetriche reali.
GEOMETRIA ANALITICA
Proiezioni parallele di un segmento orientato. Riferimento cartesiano della retta, del piano, dello spazio. Questioni metriche relative ai vettori ordinari.
IL PIANO AFFINE
Rappresentazione della retta: in forma vettoriale, parametrica, cartesiana ordinaria, di rapporti uguali, di determinante. Intersezione di due rette. Condizioni di parallelismo. Fasci di rette. Cambiamento di riferimento.
IL PIANO EUCLIDEO
Distanza di due punti. Condizioni di perpendicolarità di rette. Questioni angolari. Equazione normale di retta orientata. Distanza di un punto da una retta. Cambiamento di riferimento ortonormale. Coordinate polari.
LO SPAZIO AFFINE
Equazioni cartesiane ordinarie di retta e di piano. Condizione di parallelismo di due piani. Fasci di piani. Equazioni parametriche di retta e di piano. Altri tipi di equazioni di piano e di retta. Parametri direttori di retta e parametri di giacitura di piano. Condizione di parallelismo di rette, di retta e piano. Stelle di piani. Condizione di complanarità di due rette.
LO SPAZIO METRICO
Distanza di due punti. Condizione di perpendicolarità di rette, di piani, di retta e piano. Questioni angolari relative a rette e a piani. Equazione normale di piano orientato. Distanza di un punto da un piano. Cambiamento di riferimento ortonormale. Coordinate polari. Coordinate cilindriche.
AMPLIAMENTO PROIETTIVO DI RETTA, PIANO, SPAZIO
Coordinate omogenee di un punto. Punto improprio, retta impropria, piano improprio. Equazioni di retta e di piano in coordinate omogenee parametriche e non.
AMPLIAMENTO, COMPLESSO DI RETTA, DI PIANO, DI SPAZIO
Nozione di punto complesso. Rette nel piano complesso. Rette e piani nello spazio complesso. Parallelismo. Distanze e angoli. Perpendicolarità. Rette isotrope e punti ciclici.
CONICHE
Definizione di conica. Punti coniugati rispetto a una conica. Punto singolare. Intersezioni di retta con conica. Tangente ad una conica in un punto non singolare (semplice). Coniche degeneri (riducibili). Polarità definita da una conica non degenere (irriducibile). Significato geometrico della polare di un punto. Riduzione a forma canonica di conica reale nel piano proiettivo. Direzione asintotica di conica. Classificazione delle coniche reali. Centro, diametri di una conica reale irriducibile e relative proprietà di simmetria. Assi, vertici, fuochi di una conica reale irriducibile. Circonferenza. Equazioni canoniche delle coniche reali irriducibili. Antipolarità rispetto a una conica reale a centro: in particolare rispetto ad una ellisse. Fasci di coniche. Proprietà generali. Classificazione dei fasci irriducibili.
QUADRICHE
Generalità. Intersezioni con una retta. Piano tangente in un punto non singolare (semplice). Quadriche riducibili. Coni e cilindri quadrici. Sezione di quadrica irriducibile con un suo piano tangente. Polarità definita da una quadrica. Classificazione e proprietà di simmetria delle quadriche reali. Equazioni canoniche delle quadriche reali non degeneri. Cenni sulla rappresentazione di curve e superfici nello spazio: circonferenza, coni, cilindri, superfici di rotazione.
TESTI CONSIGLIATI:
- M.I. STOKA, "Corso di Geometria", Cedam, Padova.
- S. ABEASIS, "Algebra lineare e Geometria", Zanichelli, Bologna.
- A. FRANCHETTA-P. MASTROGIACOMO, "Geometria analitica", Liguori, Napoli.
- M.I. STOKA-V. PIPITONE, "Esercizi e problemi di Geometria", Ed. Cedam, Padova.
- W.W. BELL, "Matrices for scientist and engineers", Van Nostrand Reinhold, 1975.